第17章函数及其图像

小结与复习(第2课时)

    巴中龙泉外国语学校    刘崇光

一、课程目标

(一)知识技能

1.结合具体情境体会一次函数、反比例函数的意义，能根据已知条件确定一次函数，反比例函数的表达式。

2.会用待定系数法确定一次函数、反比例函数的表达式。

3.能画一次函数、反比例函数的图像，根据函数图像和表达式探索并理解k>0和k<0时图像的变化情况。

4.体会一次函数与方程、不等式的关系

5.能用一次函数和反比例函数解决简单的实际问题.

(二)数学思考

1.通过探究函数图像性质等过程,发展学生总结归纳的能力，清晰地表达自己的想法。

2．体验数形结­合的数学思想。

3.学会独立思考，逆向思维，体会数学的基本思想和思维方式。

(三)问题解决

1.学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用一次函数、反比例函数的只是解决简单实际问题，增强应用意识，提高实践能力。

2.学会与他人合作交流。

(四)情感态度

1.学生在积极参与数学活动中,培养对数学的好奇心和求知欲。

2.体验成功的乐趣,锻炼客服困难的意志，建立自信心。

3.养成与人交流合作和学习反思的学习习­惯。

二、教学设想

(一)重难点

1.重点:一次函数、反比例函数的图象特征及其性质;一次函数与方程、不等式问题；反比例函数中k的几何意义。

2.难点:利用一次函数的图象解决与方程不等式相关问题；反比例函数中k的几何意义。

（二）课型及基本教学思路

1.课型:复习课.

2.教法与学法：小组合作探究，自主学习。

3.教学思路:回顾章节知识框架──学生讨论并展示本节课知识结构──老师总结并补充重点──学生分组举例重点题型──趣味问答应用提高──课堂小结.

三、教学条件支持

1、教具：多媒体、投影仪、学案、标有序号的趣味答题卡片。

2、让学生自己总结一次函数、反比例函数的知识体系，提前准备相关题型。

3、根据本班的学生特点,我将全班学生分成了八个学习小组。

四、教学过程设计

（一）复习导入

上节课我们复习了函数及其图像这一章节的知识网络，现在哪位同学愿意来给大家分享一下他的学习成果？学生：…

老师：很好，总结得非常全面。上节课我们介绍了一个重要工具，即平面直角坐标系；有一个重要思想始终贯穿整个函数学习过程，数形结合；重点在函数的概念及表示方法，包括自变量的取值范围和函数的表达方式；并且简单的介绍了一下两个重要的函数，一次函数与反比例函数。今天，我们将对这两个重要的函数进行更加细致的复习。

（二）讨论展示

上节课我们发了有关一次函数和反比例函数的学案，上面有关于两个函数的知识点总结，现在大家用几分钟时间进行小组讨论，拿出一个确切的结构框架，再展示给大家好吗？（使用投影仪展示，多用鼓励性语言使学生保持积极性，同时指出还需补充的地方。）

从大家展示的成果果来看，对于两个函数的复习基本上都是从以下几个方面来进行的，

1、一次函数及反比例函数的定义及形式；2、两种函数的图像及性质；3、待定系数法求函数解析式；4、一次函数与方程不等式的联系；5、两种函数的实践应用。

接下来，我们需要继续小组合作探究，对于上述知识点进行深入学习，并且以上述知识点自己设计考试题型再进行成果展示。

（三）合作探究

1、一次函数及正比例函数

（1）定义及形式。这一部分重点在认识什么是一次函数及正比例函数，对它们的基本形式要了解，并注意其中系数k的限制条件。

①定义：用自变量的一次整式表示的函数。

②基本形式：y=kx+b (k,b都是常数且k≠0)。

特别地,当b=0时,y=kx(k≠0)称为正比例函数。

（学生自己设计这方面题型，如果学生需要，再举出自己设计好的例题。以下同样如此。）

例1、已知函数y＝(k－2)x＋2k＋1,若它是正比例函数,求k的值;若它是一次函数,求k的取值范围.

（2）图像及性质

①这一部分是一次函数学习的重点，首先要知道，如果已知一个函数是一次函数或者是正比例函数，他的图像应该是什么形状？学生：…

那么反过来，如果已知一个函数的图像是一条直线，那么他代表的函数是？学生…

所以，我们往往在说一次函数y=kx+b的时候，同样可以读作直线y=kx+b。

②在了解了一次函数图像的大概形状后，我们再来研究它图像的性质，以及随着k、b的取值变化而进行怎样的变化。（导学案，学生成果展示：）

我们知道，随着系数k、b的变化，函数的图像呈现不同的分布。我们也要会逆向思维，当给定一个函数图像的时候，我们能够判断它系数k、b的正负吗？（幻灯片展示）

③接下来，两条直线间的位置关系与系数k、b有何关系？

若直线：y=k₁x+b₁(k₁≠0)，：y=k₂x+b₂(k₂≠0)

//，其中一条直线由另一条直线沿y轴向上（下）平移|b₁—b₂|个单位长度。

与相交于y轴的同一点。

（反之，若两直线平行，则系数k相等；若两直线相交于y轴同一点，则b相等。相关题型展示？）

例1、若直线 y =mx+n经过第一、 二、三象限，讨论m、n的符号。

例2 、直线分别是由直线经过怎样的平移得到的？

（3）求次函数解析式，待定系数法，设、列、解、答。

这一部分给出了求一次函数表达式的一般步骤，若已知一个函数是一次函数，先设出一般形式y=kx+b；根据已知条件列出关于k、b的方程组；解出k、b的值；写出一次函数。

例:已知一次函数y=kx+b(k≠0)在x=1时,y=5.且它的图象与x轴交点的横坐标是6.

①求这个一次函数的解析式.

②直接写出将此函数的图像向下平移6个单位得到的直线？

（4）一次函数与方程不等式的关系

例:利用图象求解下列问题：

①解方程2x－5=0

②解不等式 2x—5>0 和－x＋1＜0

③解方程组

④解不等式2x－5＞－x＋1

通过这一个具体的问题我们在总结一次函数与方程、不等式的关系：

2、反比例函数

（1）反比例函数的一般形式及变形

形如y=（k≠0）的函数叫反比例函数

两种重要变形：y=kx^-1 (k≠0)， xy=k (k≠0)

自变量取值范围是x≠0的一切实数

例1、已知函数y=3x^|k|-2+k-1,若它是一次函数，则k=_______,若它是反比例函数，则k=_______

（2）反比例函数的图像和性质

例1、已知点A(－3，y₁)，B(－2，y₂)，C(3，y₃)都在反比例函数y＝的图象上，则()．

A．y₁＜y₂＜y₃B．y₃＜y₂＜y₁C．y₃＜y₁＜y₂D．y₂＜y₁＜y₃

k的几何意义：

①过双曲线上一点P(m,n)分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A、B，则

S_矩形OAPB=|m||n|=|mn|=|k|

②设P（m,n）是双曲线上任意一点，过P作x轴垂线，垂足为A，则

③若改为过P点作y轴的垂线，结论还成立吗？

例2、如图，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF的面积为8，则反比例函数的表达式是_________．

有关一次函数和反比例函数的实践应用题型我们放到了后面的课后的趣味游戏中，这个游戏，在给定的14个数字中，大家任意选择自己喜欢的那一个，每个数字后面是不同的趣味题，看谁能完成得又好又快。

（四）课后巩固，你想挑战哪颗星？

(1) 已知点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y₁>y₂，则x₁与x₂的大小关系是（）

A. x₁>x₂ B. x₁<x₂ C. x₁=x₂ D.无法确定

(2)已知函数y=3x^|k|-2+k-1,若它是一次函数，则k=_______,若它是反比例函数，则k=_______

(3)已知直线y=kx+b由直线y=-2x+2平移得到，且经过点（2,1），求此直线解析式。

(4)如图，矩形的面积为6，反比例函数的图象经过点P，那么k的值为 ()

(5)直线y=k₁x+b与直线y=k₂x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 x的不等式k₁x+b>k₂x的解为．

(6）试写出一个函数解析式，是的其自变量的取值范围是x≥2且x≠3,这个函数可以是．

(7)若点（3，6）在反比例函数（k≠0）的图象上，那么下列各点在此图象上的是（）

1. （-3，6）B. （2，9）C. （2，-9）D. （3，-6）

(8)已知点A（x₁,y₁),B(x₂,y₂)在双曲线上，且,则y₁,y₂,y₃,0的大小关系是．

(9)2014年3月1日政府起为鼓励居民节约用水,我市将出台新的居民用水收费标准:①若每月每户居民用水不超过4立方米,则按每立方米2元计算;②若每月每户居民用水超过4立方米,则超过部分按每立方米4.5元计算(不超过部分仍按每立方米2元计算).现假设该市某户居民某月用水x立方米,水费为y元,则y与x的函数关系用图象表示正确的是()

(10)已知△ABC中,AB=AC=x,BC=y,且它的周长为30.求y与x的函数关系式并写出x的取值范围.

(11) A,B两车从巴中开往成都,两车行驶的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的关系如图所示.请从图中读出至少三条信息与大家分享.

（12）已知直线与x轴交于点（-3,0），且此直线与坐标轴围成的三角形面积为3.则此直线解析式为．

(13)如图函数和在同一坐标系中的大致图象是（）

(14)已知，如图点A是双曲线上任一点，过点A作

(15)AB垂直于点B，点C在y轴上，且S_∆ABC=3.则k=．

五、课堂小结

这节课我们对两个重要的函数进行了细致的复习，大家再一起来总结一下，包括1、一次函数及反比例函数的定义及形式；2、两种函数的图像及性质；3、待定系数法求函数解析式；4、一次函数与方程不等式的联系；5、两种函数的实践应用。

六、教学反思